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# Metodologia di calcolo aggregato

> Gli aggregati della PD di portafoglio vengono calcolati con un approccio di stima a ritroso, ancorato al mese più recente e convalidato dall’Indicatore di Cambiamento di Opinione.

La PD aggregata rappresenta una metrica di portafoglio che esprime il rischio di credito medio su un insieme definito di controparti.

L’obiettivo è generare un indice su un **universo di entità mobile** che rifletta **le variazioni effettive dell’opinione creditizia della banca**, filtrando le fluttuazioni dovute esclusivamente all’ingresso o all’uscita di entità dall’universo di analisi.

Il valore viene determinato con un **metodo di calcolo a ritroso**, che prende come riferimento il mese più recente come base di partenza e procede poi all’indietro nel tempo utilizzando esclusivamente le variazioni mensili della PD convalidate dall’[Indicatore di variazione dell’opinione (OCI)](/methodology/consensus-calculations/opinion-change-indicator).

Tale metodo assicura la coerenza della serie storica con la visione corrente del portafoglio ed elimina le distorsioni derivanti dalle variazioni nella popolazione dei contributori.

<Tip>
  L’approccio a ritroso garantisce che il mese più recente rifletta sempre l’universo completo delle controparti. I valori storici sono ricavati da tale base, quindi la serie non subisce distorsioni quando le controparti entrano o escono.
</Tip>

## Processo matematico

<Steps>
  <Step title="Trasformazione logaritmica">
    Trasformare la PD per ciascuna entità $i$ al momento $t$ nello spazio logaritmico:

    $$
    \operatorname{LogPD}_{i,t}=\log\!\bigl(\operatorname{PD}_{i,t}\bigr)
    $$
  </Step>

  <Step title="Differenza nel Log PD">
    Calcolare la variazione mese su mese del log PD per ciascuna entità:

    $$
    \Delta\operatorname{LogPD}_{i,t} = \operatorname{LogPD}_{i,t}-\operatorname{LogPD}_{i,t-1}
    $$
  </Step>

  <Step title="Adeguamento OCI">
    Mantenere solo le variazioni per le quali l’OCI conferma un autentico cambiamento nell’opinione della banca. Se il segno dell’OCI non corrisponde al segno della variazione logaritmica della PD, impostare la differenza a zero:

    $$
    \operatorname{Adj}\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}=
    \begin{cases}
      \Delta\operatorname{LogPD}_{i,t},
        & \text{if }\mathrm{sign}(\mathrm{OCI}_{i,t})
          = \mathrm{sign}\!\bigl(\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}\bigr)\\[4pt]
      0, & \text{otherwise}
    \end{cases}
    $$
  </Step>

  <Step title="Differenza logaritmica media">
    Calcolare la media delle differenze logaritmiche rettificate su tutti i $n$ Entità per mese $t$:

    $$
    \overline{\Delta\operatorname{LogPD}}_{t} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Adj}\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}
    $$
  </Step>

  <Step title="Linea di base — Mese più recente">
    Stabilire la linea di base calcolando la media delle PDs logaritmiche grezze su tutte le entità a $t_{\text{latest}}$:

    $$
    \operatorname{AggLogPD}_{t_{\text{latest}}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{LogPD}_{i,t_{\text{latest}}}
    $$

    Tale valore costituisce il punto di partenza per tutti i calcoli a ritroso.
  </Step>

  <Step title="Ricalcolo dei mesi precedenti">
    Derivare ciascun mese precedente sottraendo la differenza logaritmica media:

    $$
    \operatorname{AggLogPD}_{t-1} = \operatorname{AggLogPD}_{t}-\overline{\Delta\operatorname{LogPD}}_{t}
    $$

    Ripetere iterativamente per tutti i mesi precedenti a $t_{\text{latest}}$.
  </Step>

  <Step title="Riconversione in PD">
    Elevare a potenza per tornare alla scala di probabilità:

    $$
    \operatorname{AggPD}_{t}=\exp\!\bigl(\operatorname{AggLogPD}_{t}\bigr)
    $$
  </Step>
</Steps>

## Visualizzazione dei risultati

La PD aggregata può essere espressa in tre modi:

<AccordionGroup>
  <Accordion title="PD media del segmento">
    La probabilità di default assoluta per il segmento — il risultato diretto del calcolo a ritroso:

    $$
    \operatorname{AggPD}_{t} = \exp\!\bigl(\operatorname{AggLogPD}_{t}\bigr)
    $$
  </Accordion>

  <Accordion title="PD del segmento ricalcolata">
    Variazione relativa rispetto a una data di riferimento scelta $t_0$, che mostra l'andamento direzionale del rischio:

    $$
    \text{RelChange}_t(\%) = \frac{\operatorname{AggPD}_{t}-\operatorname{AggPD}_{t_0}}{\operatorname{AggPD}_{t_0}} \times 100
    $$
  </Accordion>

  <Accordion title="Rating medio del segmento">
    La PD aggregata mappata sulla scala di rating CB:

    $$
    \text{Rating} = f(\operatorname{AggPD}_{t})
    $$

    Dove $f$ è la funzione di mappatura PD-rating di CB; si veda l’[Scala di rating](/methodology/rating-scales).
  </Accordion>
</AccordionGroup>