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# Méthodologie de calcul agrégée

> Les agrégats de PD de portefeuille sont calculés selon une approche rétrospective ancrée sur le mois le plus récent et validée par l’Indicateur de Changement d’Opinion.

La PD agrégée constitue un indicateur de portefeuille reflétant la risque de crédit moyen sur un ensemble d’entités donné.

L’objectif est de produire un indice sur un **univers d’entités évolutif** qui reflète **les véritables changements d’opinion de la banque**, en filtrant les variations causées uniquement par l’entrée ou la sortie d’entités de l’univers.

Elle est construite à l’aide d’une **approche de calcul a posteriori** — en prenant le mois le plus récent comme référence, puis en remontant dans le temps en utilisant uniquement les variations de PD d’un mois sur l’autre validées par l’[Indicateur de changement d'opinion (OCI)](/methodology/consensus-calculations/opinion-change-indicator).

Cette méthode garantit que la série chronologique demeure cohérente avec la vision actuelle du portefeuille et élimine les distorsions liées aux variations de la population des contributeurs.

<Tip>
  L’approche par calcul rétrospectif garantit que le mois le plus récent reflète toujours l’univers complet des entités. Les valeurs historiques sont dérivées de cette base de référence, de sorte que la série n’est jamais distordue lorsque des entités entrent ou sortent de l’univers.
</Tip>

## Processus mathématique

<Steps>
  <Step title="Transformation logarithmique">
    Transformez la PD pour chaque entité $i$ au moment $t$ dans l'espace logarithmique :

    $$
    \operatorname{LogPD}_{i,t}=\log\!\bigl(\operatorname{PD}_{i,t}\bigr)
    $$
  </Step>

  <Step title="Différence de PD logarithmique">
    Calculez la variation mensuelle de la PD logarithmique pour chaque entité :

    $$
    \Delta\operatorname{LogPD}_{i,t} = \operatorname{LogPD}_{i,t}-\operatorname{LogPD}_{i,t-1}
    $$
  </Step>

  <Step title="Ajustement OCI">
    Ne conservez que les variations pour lesquelles l’OCI confirme un véritable changement d’opinion de la banque. Si le signe de l’OCI ne correspond pas au signe de la variation logarithmique de la PD, fixez la différence à zéro :

    $$
    \operatorname{Adj}\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}=
    \begin{cases}
      \Delta\operatorname{LogPD}_{i,t},
        & \text{if }\mathrm{sign}(\mathrm{OCI}_{i,t})
          = \mathrm{sign}\!\bigl(\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}\bigr)\\[4pt]
      0, & \text{otherwise}
    \end{cases}
    $$
  </Step>

  <Step title="Différence logarithmique moyenne">
    Calculer la moyenne des différences logarithmiques ajustées sur l’ensemble des $n$ entités pour le mois $t$:

    $$
    \overline{\Delta\operatorname{LogPD}}_{t} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Adj}\Delta\operatorname{LogPD}_{i,t}
    $$
  </Step>

  <Step title="Référence — Mois le plus récent">
    Établissez la base de référence en calculant la moyenne des PD logarithmiques brutes pour toutes les entités à $t_{\text{latest}}$:

    $$
    \operatorname{AggLogPD}_{t_{\text{latest}}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{LogPD}_{i,t_{\text{latest}}}
    $$

    Il s'agit du point de départ de tout calcul rétrospectif.
  </Step>

  <Step title="Calcul rétroactif des mois précédents">
    Déterminez chaque mois précédent en soustrayant la différence logarithmique moyenne :

    $$
    \operatorname{AggLogPD}_{t-1} = \operatorname{AggLogPD}_{t}-\overline{\Delta\operatorname{LogPD}}_{t}
    $$

    Répétez de manière itérative pour tous les mois antérieurs à $t_{\text{latest}}$.
  </Step>

  <Step title="Reconversion en PD">
    Exponentier pour revenir à l’échelle de probabilité :

    $$
    \operatorname{AggPD}_{t}=\exp\!\bigl(\operatorname{AggLogPD}_{t}\bigr)
    $$
  </Step>
</Steps>

## Vues de sortie

La PD agrégée peut être exprimée de trois manières :

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Moyenne du segment PD">
    La probabilité de défaut absolue pour le segment — résultat direct du calcul rétrospectif :

    $$
    \operatorname{AggPD}_{t} = \exp\!\bigl(\operatorname{AggLogPD}_{t}\bigr)
    $$
  </Accordion>

  <Accordion title="Probabilité de défaut du segment rebasée">
    Variation relative par rapport à une date de référence choisie $t_0$, indiquant l'évolution directionnelle du risque :

    $$
    \text{RelChange}_t(\%) = \frac{\operatorname{AggPD}_{t}-\operatorname{AggPD}_{t_0}}{\operatorname{AggPD}_{t_0}} \times 100
    $$
  </Accordion>

  <Accordion title="Notation moyenne du segment">
    La PD agrégée convertie sur l’échelle de notation de la CB :

    $$
    \text{Rating} = f(\operatorname{AggPD}_{t})
    $$

    Où $f$ où f est la fonction de correspondance entre la PD de Credit Benchmark et la notation ; voir l’[Échelle de notation](/methodology/rating-scales).
  </Accordion>
</AccordionGroup>